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Omnia

Linguaggio, simbolo, interpretazione. La natura degli oggetti matematici

L’analisi e l’algebra della fine del XIX secolo rifondano ed estendono immensamente il loro dominio rompendo il proprio legame privilegiato con l’oggetto numerico. Bisogna tuttavia guardarsi dall’illusione oggi troppo brillantemente diffusa che vorrebbe riconoscere nella storia della scienza una successione di sistemi isolati che si sviluppano secondo paradigmi vincolanti e propri di ciascun’epoca, i quali renderebbero assolutamente intraducibili le precedenti acquisizioni. Se la matematica evolve a balzi, ciò si deve, senza dubbio, come dice André Weil, al fatto che “il grande matematico abbandona i sentieri battuti” e “mediante accostamenti imprevisti, cui la nostra immaginazione non perviene, egli risolve, cambiando loro aspetto, i problemi da noi ereditati”. Ma è anche frutto della fatica meno appariscente ma continua di coloro che coltivano senza tregua il terreno da altri indicato. Sembra che esistano due categorie di problemi, o meglio due modi di procedere, in matematica, in corrispondenza a due attitudini che, secondo la metafora militare di Dieudonné, si possono distinguere in attitudini di tattici e di strateghi.

Secondo Dieudonné, infatti, i matematici “tattici” si gettano a capofitto su di un problema utilizzando solamente strumenti antichi e sperimentati. Essi si basano sulla propria destrezza per sfruttare in modo nuovo argomentazioni tradizionali ed ottengono così soluzioni che erano sfuggite ai precedenti tentativi. Gli “strateghi”, d’altro canto, non si sentono appagati fino a che i concetti coinvolti in un problema non sono stati completamente sviscerati, e le mutue connessioni sono messe così chiaramente in luce da far apparire la soluzione finale quasi ovvia. Tuttavia, dice ancora Dieudonné, è possibile che ciò richieda lo sviluppo lungo e faticoso di teorie molto generali, apparentemente inutili, che alcuni giudicheranno sproporzionate al problema iniziale.
Il progresso matematico può dunque essere grossolanamente descritto come la scoperta di un paesaggio, visto da diverse angolazioni, da diverse altezze. Ogni prospettiva veramente nuova modifica in qualche modo la visione degli oggetti scoperti in precedenza, mentre nuovi territori s’offrono alla conquista. Ma la confusa proliferazione degli oggetti matematici col passare dei secoli non può mascherare ciò che sempre e dovunque porta il marchio fondamentale e costante del pensiero razionale; ciò è ancora sottolineato da uno dei migliori matematici creatori del nostro tempo, in grado di cogliere l’ampiezza del panorama: in matematica “le grandi idee sono semplificatrici”. 


Le idealità matematiche.

La metafora topografica ch’è or ora stata usata sembrerà senza dubbio naturale a molti matematici. Il fatto è che sembra tradurre una profonda convinzione riguardante la realtà dell’universo degli oggetti trattati appunto dai matematici, “giungla” da esplorare, “territori” di cui occorre tracciare la carta, e di cui dapprima s’intuiscono appena estensione e risorse. Colui che tenterà d’avventurarsi, anche solo da profano, tra i testi originali, non potrà non cedere a questo fascino sottile. Gli oggetti matematici resistono all’investigazione, le loro proprietà — che vengono scoperte — meravigliano ed incantano, il genio matematico le intravede prima ancora di provarle. Nulla è più imprevedibile, ad esempio, della proposizione di Goldbach (1742)”Ogni numero pari è la somma di due numeri primi”, congettura a tutt’oggi dimostrata solo per i numeri pari abbastanza grandi…
Dal fatto, dunque, che esiste nei matematici un largo consenso realista, si è semplicemente autorizzati a concludere che, da un punto di vista psicologico, tutto avviene come se si manipolassero oggetti in qualche modo esterni al pensiero, benché tali oggetti non possano essere recepiti dai sensi come quelli della percezione. Il problema di una filosofia della matematica è appunto quello di caratterizzare, se possibile, questo tipo di realtà che un’ingenua interpretazione metafisica assimila affrettatamente a quella d’esseri soprasensibili, indipendenti dagli atti mediante i quali il pensiero arriva a loro.

Senza voler dare un giudizio affrettato sulla loro natura, si può certo dire che gli oggetti matematici, in opposizione ai fatti, sono “idealità” o essenze, ossia non sono singoli esseri, individui, e neppure afferrabili come esistenti nel tempo. Husserl, la cui fenomenologia si presenta come una teoria generale dei tipi d’oggetti, a prescindere dal loro impegno entro una realtà e liberi da ciò che li isola come fatti, insiste, nelle Ideen, sul ruolo fondamentale dell’immaginazione nel cogliere le essenze, e considera l’esempio particolare delle essenze matematiche: “Il geometra nelle sue indagini opera incomparabilmente più nella fantasia che nella percezione diretta alla figura o al modello; e in ispecie il geometra puro, ossia quello che rinunzia alla metodica algebrica. Certo, nella fantasia egli deve affaticarsi per giungere a visioni chiare, mentre il disegno e il modello gli evitano tale fatica. Ma nel disegnare e nel modellare effettivi egli è legato, mentre nella fantasia ha un’incomparabile libertà nella trasformazione arbitraria delle figure immaginate, nel farsi scorrere innanzi possibili figure continuamente modificate e insomma nella produzione d’innumerevoli nuove formazioni; una libertà che gli apre l’accesso alle vaste sfere delle possibilità essenziali con i loro infiniti orizzonti”. Tra tutti i tipi d’oggetti possibili, le idealità matematiche formano certamente una classe a parte che è necessario caratterizzare.

La soluzione di Husserl consiste nel definirle mediante “una proprietà logica fondamentale “. Ciò significa che dare un esiguo numero di forme primitive e l’enunciato di loro proprietà mediante assiomi permette di determinare “pienamente ed univocamente, il complesso di tutte le possibili formazioni del territorio [geometrico]… In una varietà matematicamente definita i concetti “vero” e “conseguenza logico-formale degli assiomi” sono equivalenti”. Una tale caratterizzazione corrisponde senza dubbio all’ideale di una conoscenza matematica che ha dominato più o meno esplicitamente il lavoro del matematico da Euclide in poi. Oggi tuttavia si sa che a tale esigenza può far fronte solo una piccolissima parte del dominio esplorato dai matematici. La stessa aritmetica, allorché ci si assumesse il legittimo diritto di parlare dell’insieme degli interi, non sarebbe atta a costituire una “varietà definita” nel senso di Husserl: essa, per non essere contraddittoria, deve contenere proposizioni “vere” né dimostrabili né refutabili a partire dagli assiomi.
Per dare un’idea del problema posto da questa difficile caratterizzazione degli oggetti ideali della matematica, si esaminerà successivamente il loro rapporto col mondo sensibile e poi con le costruzioni di sistemi di simboli.


Oggetti matematici e immaginazione sensibile.

Scriveva Leibniz: “Fa parte della matematica tutto ciò che può essere immaginato in quanto chiaramente concepito”. L’immaginazione è qui una funzione di rappresentazione mediante “immagini” sensibili. Gli oggetti matematici sarebbero dunque ciò che il pensiero può distintamente concepire nel mondo sensibile ossia, per Leibniz, non solo le quantità ma anche la “disposizione delle cose”, che dà luogo a una teoria delle combinazioni e a un’analysis situs. Vi è scienza matematica nella misura in cui tali astrazioni si conformano necessariamente a leggi governanti i loro rapporti. Secondo tale prospettiva, queste astrazioni sono colte dal sensibile grazie al pensiero “simbolico”; su quest’argomento si tornerà più avanti.

Proprio per aver letto Leibniz, Kant definisce le matematiche come scienza che sviluppa le proprietà delle forme a priori della percezione. Ma il mondo sensibile di Leibniz apparteneva di pieno diritto, è vero, al reale, era in un certo qual modo il reale colto da una mente finita, mentre quello di Kant, sebbene totalmente oggettivo, non fornisce conoscenza alcuna dell’in-sé. La geometria e l’aritmetica, discipline matematiche fondamentali, sono possibili poiché lo spazio e il tempo, forme pure dell’intuizione sensibile, possiedono a priori proprietà che presiedono ad ogni percezione. “Allorché dalla rappresentazione di un corpo tolgo via ciò che l’intelletto vi mette in fatto di pensiero, e cioè la sostanza, la forza, la divisibilità, ecc., e parimenti ciò che appartiene invece alla sensazione, come l’impenetrabilità, la durezza, il colore, ecc., qualcosa mi rimarrà ancora di quest’intuizione empirica, cioè l’estensione e la figura. Queste appartengono all’intuizione pura, la quale ha luogo a priori, nell’animo, come una semplice forma della sensibilità, anche senza la presenza di un oggetto dei sensi o di una sensazione”.

Ne risulta che gli “oggetti” matematici non potrebbero essere, per Kant, degli oggetti (fenomeni legati dall’intendimento), ma delle sintesi figurate che l’immaginazione produce nel tempo — forma nel nostro senso interno — e che rendono possibile il nostro apprendimento dei fenomeni. Fondata sulle condizioni formali a priori d’ogni intuizione, ogni nozione matematica è uno schema,”la rappresentazione del procedimento generale mediante cui l’immaginazione appronta al concetto stesso la sua immagine”. Il numero è, per esempio, lo schema della quantità. Come per Leibniz, dunque, la matematica non si estende che ai sensibilia (lettera a Schultz del 25novembre 1788). Come nota Vuillemin, il disegno di Kant è però anti-leibniziano. Egli disconosce totalmente il ruolo della simbolizzazione e considera le proposizioni dell’aritmetica e dell’algebra come sprovviste di generalità, contrariamente a quelle della geometria. La sintesi che ha luogo nella formula “7+5 = 12″”può aver luogo in un solo modo, benché l’uso di questi numeri sia poi generale”. Lo schema del triangolo racchiude invece la possibilità di riprodurre l’infinita varietà delle immagini triangolari. Vi è dunque, per Kant, una sorta di supremazia della geometria in virtù della quale ogni concetto matematico nel suo uso effettivo sarebbe compiuto in una costruzione spaziale.

Il problema che Kant pone non è tanto, del resto, quello della natura dei concetti matematici, quanto quello del loro funzionamento nella conoscenza dei fenomeni e del contributo che tale funzionamento reca ad un rifiuto dell’idealismo classico. Il tempo, allorché il soggetto prende se stesso come oggetto della propria rappresentazione, dev’essere spazialmente raffigurato come una linea, che non può essere concepita come un quantum, salvo che costruendola nel tempo. In una lettera a Rehberg del 25settembre 1790,Kant sostiene che l’idea del legame necessario del senso interno col senso esterno nella determinazione temporale dell’esistenza, gli sembra dimostrare la realtà oggettiva della rappresentazione delle cose esteriori.

Ne risultano limiti severi della concezione kantiana della matematica, come il rifiuto dei numeri immaginari, aritmeticamente “contraddittori”, dei quali Kant non conosce ancora alcuna rappresentazione geometrica e il declassamento del calcolo infinitesimale alla fisica, scienza del movimento. Certo, sembra difficile proporre una teoria strettamente empirista, che farebbe degli oggetti matematici i prodotti d’una pura e semplice astrazione, ottenuta induttivamente a partire dalle immagini sensibili. Non fu, del resto, in nessun modo, il punto di vista né di Aristotele né di Kant, e lo sviluppo delle matematiche a partire dal XIX secolo è una chiara dimostrazione del fatto che non poteva esserlo. L’insorgere di geometrie non-euclidee s’effettua, sotto molti aspetti, contro la semplice intuizione, e il prodigioso pullulare degli oggetti astratti ed intuitivamente teratologici dell’algebra e della topologia manifestamente non si basa, se non dal punto di vista psicologico, sull’intuizione dello spazio.

Il problema che Kant pone non è tanto, del resto, quello della natura dei concetti matematici, quanto quello del loro funzionamento nella conoscenza dei fenomeni e del contributo che tale funzionamento reca ad un rifiuto dell’idealismo classico. Il tempo, allorché il soggetto prende se stesso come oggetto della propria rappresentazione, dev’essere spazialmente raffigurato come una linea, che non può essere concepita come un quantum, salvo che costruendola nel tempo. In una lettera a Rehberg del 25settembre 1790,Kant sostiene che l’idea del legame necessario del senso interno col senso esterno nella determinazione temporale dell’esistenza, gli sembra dimostrare la realtà oggettiva della rappresentazione delle cose esteriori.

Ne risultano limiti severi della concezione kantiana della matematica, come il rifiuto dei numeri immaginari, aritmeticamente “contraddittori”, dei quali Kant non conosce ancora alcuna rappresentazione geometrica e il declassamento del calcolo infinitesimale alla fisica, scienza del movimento. Certo, sembra difficile proporre una teoria strettamente empirista, che farebbe degli oggetti matematici i prodotti d’una pura e semplice astrazione, ottenuta induttivamente a partire dalle immagini sensibili. Non fu, del resto, in nessun modo, il punto di vista né di Aristotele né di Kant, e lo sviluppo delle matematiche a partire dal XIX secolo è una chiara dimostrazione del fatto che non poteva esserlo. L’insorgere di geometrie non-euclidee s’effettua, sotto molti aspetti, contro la semplice intuizione, e il prodigioso pullulare degli oggetti astratti ed intuitivamente teratologici dell’algebra e della topologia manifestamente non si basa, se non dal punto di vista psicologico, sull’intuizione dello spazio.

Tuttavia, sembra che l’elaborazione di oggetti astratti, sempre più complessi oltreché distinti, inizi dalla costruzione di “modelli” esatti delle rappresentazioni sensibili, per natura fluide; si tratta di modelli multipli che non costituirebbero certo l’esplicitazione univoca dell’essenza degli oggetti sensibili. Così la formazione dei concetti di continuo, la costruzione del sistema dei numeri “reali”, come schemi razionali sostituiti all’idea confusa ed incoerente della retta intuitiva, aprono la possibilità di combinazioni ideali non rappresentabili come l’insieme “triadico” di Cantor, “compatto” come un intervallo, in un certo senso contenente lo “stesso” numero di punti di un intervallo, eppure ovunque lacunoso, “totalmente discontinuo”… Un’immaginazione operativa prende spunto dall’immaginazione sensibile (che, psicologicamente, continua del resto a sostenerla senza tuttavia mai fornirgli garanzia accettabile). Tale immaginazione fa leva su simboli, nel funzionamento dei quali gli elementi dell’intuizione sensibile non svolgono più, di diritto, se non un ruolo di supporto materiale. Conviene ora esaminare il rapporto di quest’immaginazione simbolica con l’essenza degli oggetti matematici.


Oggetti matematici e immaginazione simbolica.

I filosofi che hanno riconosciuto l’importanza del simbolismo in matematica l’hanno interpretato essenzialmente in due modi, radicalmente diversi. Per gli uni, di cui Leibniz è il più prestigioso rappresentante, l’uso dei simboli non è un semplice espediente. Costituisce la sola modalità di pensiero che convenga alle idee di cui non si saprebbe portare a termine l’analisi esaustiva o di cui si è incapaci di cogliere, immaginare e manipolare simultaneamente tutti i predicati. “Mi servo mentalmente di questi vocaboli [cioè dei segni]… in luogo delle idee che ne ho, perché ricordo di possedere il senso di essi, e giudico che una spiegazione in quel punto non sia necessaria”. E tale “conoscenza cieca” o simbolica è quella usata “in algebra, in geometria, é, si può dire, ovunque”. Si tratta certo di un pensiero infermo se lo si paragona all’ideale inaccessibile di un pensiero perfettamente appropriato, che abbraccerebbe con ogni idea la totalità dei suoi predicati e delle sue possibilità. Ma la rinunzia che tale pensiero implica rispetto a una visione intuitiva concreta è il prezzo che una mente finita deve pagare per giungere a una conoscenza chiara e distinta della struttura invariante della realtà. Ogni sostanza, ogni monade sviluppa, dal proprio punto di vista, una visione di tale realtà e i contenuti di questa conoscenza sono ovviamente oscuri ed incompleti. Ma il pensiero simbolico libera una forma invariante, diversamente espressa nello sviluppo di ogni sostanza, i cui stessi incidenti sono determinati, tra tutti i possibili, dal gioco d’un principio architettonico di ottimizzazione messo in atto da scelte divine. La matematica, che, nella sua più generale accezione, descrive le forme della realtà comuni a tutte le prospettive individuali, non può dunque presentarsi che come conoscenza simbolica; senz’essere affatto una combinazione arbitraria di segni priva di rapporto con l’esistenza, essa ci procura quello che, nell’esistenza stessa, è sottomesso al principio di non-contraddizione o d’identità ed esaurisce così il campo dei possibili nel senso più forte.

Un punto di vista tutto diverso è rappresentato da Berkeley, per il quale le idee astratte sono semplici artifici, attraverso cui bisogna sempre cogliere particolari oggetti. Non sarebbe dunque possibile fondare sulla manipolazione dei segni un vero e proprio pensiero, e la matematica ha valore solo nella misura in cui è possibile, in ogni istante, sostituire degli oggetti sensibili agli pseudo-concetti astratti. I simboli matematici sono essi stessi dei sensibilia che rimandano ad altri sensibilia: non è dunque possibile conferire loro un potere autonomo. Ecco che gli infinitamente piccoli di Leibniz e le prime ed ultime ragioni di Newton non sono altro che “fantasmi di quantità svanite”. Se poi si pensa di poterne dedurre qualche nuova conoscenza, e se dalle loro combinazioni saltano fuori dei risultati intuitivamente verificabili, significa che nelle nostre manipolazioni simboliche controsensi ed errori si sono esattamente compensati… Berkeley tenta con molta ingegnosità di dimostrare che è proprio così, prendendo in prestito ragionamenti di Leibniz e Newton. Si può dimostrare che la sua analisi è erronea; ma se anche fosse esatta, resterebbe da giustificare il miracolo di questa rigorosa compensazione e l’onnipresenza del genio buono che senza fallo riporta l’equilibrio entro gli opposti squilibri del pensiero simbolico. Tale tesi della compensazione degli errori per giustificare il successo del calcolo infinitesimale non ha più corso, ma l’idea che la Immagine articolo Fucine Mutematematica sia un gioco gratuito di simboli resta la punta estrema d’una filosofia nominalista della conoscenza.

Bisogna necessariamente intendere in tal senso la concezione hilbertiana, ed oggi “bourbakista”, delle matematiche? Sembra che il matematico creatore non si preoccupi affatto di reperire la situazione della propria prassi negli universi che i filosofi organizzano. Comunque non si può fare a meno di riconoscere nell’impresa hilbertiana di fondare la matematica su “un sistema completo d’assiomi il più semplice possibile” una testimonianza del potere riconosciuto al simbolismo. E noto il celebre inizio delle Grundlagen der Geometrie: “Consideriamo tre diversi sistemi di oggetti: chiamiamo punti gli oggetti del primo sistema e li indichiamo con A, B, C,…; chiamiamo rette gli oggetti del secondo sistema e li indichiamo con a, b, c,…; chiamiamo piani gli oggetti del terzo sistema e li indichiamo con a, b, g, …; i punti si chiamano anche gli elementi della geometria della retta, i punti e le rette gli elementi della geometria piana, i punti, le rette ed i piani gli elementi della geometria solida o dello spazio. Noi consideriamo punti, rette e piani in certe relazioni reciproche ed indichiamo queste relazioni con parole come “giacere”, “fra”, “congruente”; la descrizione esatta e completa, ai fini matematici, di queste relazioni segue dagli assiomi della geometria”. Gli assiomi che seguono esprimono in effetti una sorta di sintassi che regge la composizione delle formule corrette per mezzo dei simboli introdotti.

Una tale sintassi è però produttiva. La matematica, com’è evidente — ed in maniera esemplare nell’opera di Hilbert — non consiste in tale grammatica, ma nell’uso che ne fanno alcuni geni inventori. Forse che l’opera letteraria si riduce alla grammatica della lingua nella quale è stata concepita? Che gli oggetti matematici siano essenzialmente di natura simbolica non squalifica maggiormente l’attività creatrice del matematico di quanto non renda sospetta quella del poeta. Del resto, la precisa formulazione delle regole del simbolismo non precede di solito tale attività, ma il più delle volte la segue, o almeno l’accompagna. Il simbolismo matematico non è una semplice codificazione, come potrebbe parere a chi non ne vede che la fase legislativa: la creazione stessa avviene entro un universo di simboli, scaturiti spesso dalla metamorfosi dapprima confusa e a volte contraddittoria di un sistema simbolico anteriormente esistente.
Il matematico crea nuovi oggetti, oppure riconosce proprietà nuove all’interno del sistema che gli è stato trasmesso. Ma per dar loro diritto di cittadinanza deve, in generale, riformare il sistema stesso, introdurvi nuovi segni, precisare regole operative divenute troppo vaghe, generalizzarne altre per applicarle a casi precedentemente considerati aberranti o trascurati. Il fatto è che il linguaggio da cui egli parte, con le operazioni che vi si trovano ammesse, esplicitamente o tacitamente, comporta sempre delle zone d’ombra. In un dato momento dello sviluppo della matematica, tale habitus operativo genera una forma di base intuitiva, una intuizione simbolica, che rimpiazza l’intuizione percettiva: come la lingua naturale non esprime tutto quello che questa percepisce, così quella non si esplicita completamente nei segni.

Immagine articolo Fucine MuteAssai spesso un avvenimento matematico è la scoperta di un mezzo per esprimere ciò che la pratica operativa richiedeva in modo confuso, un lemma nascosto, e il nuovo simbolismo permette una nuova visione e uno sviluppo del pensiero combinatorio ben al di là del problema originario. L’invenzione non si riduce peraltro alla pura e semplice creazione di un linguaggio, come pretenderebbe un nominalismo forsennato. Si tratta dell’invenzione di concetti, ma nelle matematiche il concetto assume l’aspetto più perfetto di oggetto del pensiero munito di struttura, necessariamente rappresentabile in un sistema coerente di segni. Il concetto — il quale costituisce ciò che può veramente essere capito — è caratterizzato dal dualismo del suo sviluppo come operazione e come oggetto. Ogni sistema di simboli rende possibile, a diversi livelli, la comprensione attiva di tale dualità, che è la forma veramente controllabile e progressiva della conoscenza. Lo sviluppo della matematica è quello di un pensiero essenzialmente concettuale, e per questo il simbolismo vi svolge un ruolo decisivo più che in ogni altra disciplina. Una volta costituito e utilizzato, un sistema di simboli può apparire come lo strumento di esercizi di routine; il ruolo del genio creatore consiste allora nel “sostituire le idee al calcolo”, per dirla con Dirichlet, ma le idee sarebbero solo fantasmi se esse non si incarnassero in un nuovo “calcolo”.

Tale è proprio il senso delle profonde considerazioni di Leibniz sulla natura della mathesis. La sua invenzione del calcolo infinitesimale fornisce un esempio da esaminare attentamente per mostrarne la complessità e dedurne tutte le conseguenze. Basti dire che Leibniz parte da manipolazioni algebriche su serie di potenze, e si muove quindi dapprima in un universo simbolico già costituito, di cui è peraltro ben lungi dal conoscere tutte le ricchezze messe in evidenza qualche anno prima da Newton e dai suoi continuatori. La sua immaginazione scopre allora, nella figura del “triangolo” di Pascal, il legame che unisce la geometria della curva e della sua tangente con l’algebra delle serie. L’operazione di differenziazione viene in tal modo enucleata e provvista di un simbolismo che permette al geometra di creare una nuova algebra di cui espone per la prima volta pubblicamente le regole nell’articolo Nova methodus . Il merito di Leibniz non si riduce però alla felice introduzione di un comodo simbolismo, poiché essa è conseguenza di una nuova visione, sistematica e globale, degli oggetti e dei problemi, dalla quale tale simbolismo ricava tutti i suoi meriti. In matematica, un simbolismo autenticamente nuovo non è solo un nuovo linguaggio: esso istituisce un nuovo universo.


Architettura della matematica.

Tali universi successivi della matematica hanno del resto sempre cercato di strutturarsi in sistemi organicamente costruiti. Si può però parlare di una architettonica definitiva degli oggetti matematici? Sembra invece che la visione d’insieme che se ne potrebbe trarre si trasformi in ogni epoca. Ad esempio la matematica degli antichi si divide in modo abbastanza netto in aritmetica e geometria. In seno alla geometria si edificherà più tardi un’algebra — preparata dalle costruzioni euclidee di aree poligonali equivalenti —, poi un’analisi nata dal trattamento delle figure curvilinee e dalla manipolazione algebrica delle serie. La grande rifondazione architettonica delle matematiche rimonta all’inizio del XX secolo quando l’evidenziarsi del concetto di struttura astratta conduce a precisare assiomaticamente un universo di oggetti fondamentali, gli insiemi, a partire dai quali sono costruite un’algebra — teoria generale delle leggi di composizione tra elementi d’insiemi — e una topologia; su di esse riposeranno l’analisi e la geometria. Qualunque sia la bellezza di una tale costruzione architettonica, oggi l’accento cade piuttosto sui rapporti imprevisti di mutua fecondazione, intercorrenti negli ultimi decenni fra settori assai lontani dell’edificio. Fin dal tempo di Dirichlet (1863) era noto lo straordinario potere di certe applicazioni dell’analisi alla teoria dei numeri primi. Oggi non solo tale teoria analitica dei numeri si è notevolmente sviluppata, ma si sono anche sviluppate teorie in qualche modo sincretiche quali l’algebra omologica, la topologia differenziale, la geometria algebrica. Come osserva Dieudonné, “è impossibile applicare ad una gran parte della letteratura matematica contemporanea una delle antiche etichette di algebra, analisi e geometria”. A maggior ragione, l’architettura grandiosa e limpida, basata sulla distinzione delle “strutture-madri “, appare sempre più come uno schema semplificato. Alla fase classica di costruzione è succeduta una fase barocca, senza mai però arrivare a perdere di vista l’unità profonda delle matematiche, sul cui mistero sempre indagano matematici e filosofi.

“Come una grande città, i cui sobborghi crescono sempre, in modo un po’ caotico, sui terreni circostanti, mentre il centro viene periodicamente ricostruito, ogni volta con un piano più chiaro ed in modo più maestoso, distruggendo i vecchi quartieri ed i loro dedali di vicoli, per lanciare verso la periferia viali sempre più diretti, più larghi e più comodi”. La metafora di Bourbaki curiosamente si avvicina ad una metafora che Wittgenstein usa a proposito del linguaggio; non c’è da stupirsene poiché in entrambi i casi si tratta di creazioni simboliche, che sono tuttavia “forme di vita”.

Fonti Bibliografiche

Berkeley, G.

The analyst; or, a Discourse addressed to an Infidel Mathematician, Tonson, London (trad. it. Fondazione Giorgio Ronchi, Firenze 1971).

Bourbaki, N.

L’architecture des mathématiques, in F. Le Lionnais (a cura di), Les grands courants de la pensée mathématique, Cahiers du Sud, Marseille; nuova ed. Blanchard, Paris 1962, pp.35 – 47

Dieudonné, J., e altri

Abrégé d’histore des mathématiques, Hermann, Tours.

Husserl, E.

Ideen zu einer reiner Phänomenologie und phänomenologischen Philosphie, Niemayer, Halle (trad. it. Einaudi, Torino1976)

Kant, I.

Kritik der reinem Vernuft, Hartknoch, Riga (trad. it. Utet, Torino 1967).

Leibniz, G. W.

Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis caclusis genus, in “Acta eruditorum”,3, pp.467-73 (trad. it. In G. Castelnuovo, Le origini del calcolo infinitesimale nell’era moderna, Feltrinelli, Milano 1962, pp. 163-67);

Meditationes de cognitione, veritate et ideis, in “Acta eroditorum”, II, pp. 537 sgg. (trad. it. In Saggi filosofici e lettere, Laterza, Bari 1963, pp. 95-101);

Lettera a Clarke della fine di novembre, in A Collection of Papers, which passed between the late learned Mr. Leibniz an Dr. Clarke in the Years 1715 and 1716, relating to the Principles of Natural Philosophy and Religion, Knapton, London 1717 (trad. it. In Saggi filosofici e lettere, Laterza, Bari, pp. 385-467).

Quine, W. Van Orman

Set Theory and its Logic, Haward University Press, Cambridge Mass.

Russel, B.

The Principles of Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge (trad. it. Longanesi, Milano 1963).

Weil, A.

L’avenir des mathématiques, in F. Le Lionnais (a cura di ), Les grands courants de la pensée mathématique, Cahiers du Sud, Marseille; nuova ed. Blanchard, Paris 1962 pp. 307-20.

Wittengenstein, L.

Philosophische Untersuchungen, Blackwell, Oxford 1953 (trad. it. Einaudi, Torino 1974).

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